I-J. Bienaymé era uno Statistico, ispettore generale delle Finanze, che applicava la teoria delle probabilità al calcolo finanziario. Tradusse lavori sulla probabilità del matematico russo e amico P.L. Cebicev. Entrò all'Académie des sciences nel 1852 e i suoi studi riguardavano in particolare la legge dei grandi numeri e la celebre diseguaglianza relativa a una variabile aleatoria X, di speranza matematica μ e scarto quadratico medio σ:\[p(\mu-k\sigma\lt X \lt \mu+k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2} \;\;\;\;\;\;\;\; \forall k\gt 0\] ovvero \[p(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right|\lt k)\ge 1-\frac{1}{k^2} \;\;\;\;\;\;\;\; \forall k\gt 0\]
Applicata a una v.a. binomiale $X = X_1 +X_2 + ...+X_n$, dove le $X_i$ sono variabili di Bernoulli, cioè a due soli valori 1=successo e 0=insuccesso, tra loro indipendenti, che verificano la stessa legge di probabilità:\[\begin{cases}p(X_i= 1) = p\\p(X_i = 0) = q = 1 -p\end{cases}\quad con\;\;i= 1,\; 2,\; ...,\; n\] così che media e varianza di $X$ sono \[ \begin{cases}\mu=n\cdot p \\ \sigma^2=n\cdot p\cdot q\end{cases}\] permette di ricavare la legge debole dei grandi numeri di Jacques Bernoulli:
\[p(\left(\left| \frac{X}{n}-p\right|\lt \epsilon \right)\ge 1-\frac{p(1-p)}{n\epsilon^2} \;\;\;\;\;\;\;\; \forall \epsilon\gt 0\] Ovvero: per quanto piccolo sia ε, la probabilità che $\frac{X}{n}$, frequenza relativa dei successi nella ripetizione di uno stesso evento, sia uguale alla probabilità $p$ del singolo successo con approssimazione a meno di ε tende a 1 per $n$ che tende a infinito: si ottiene la legge debole dei grandi numeri