Se $H_1,\;\; H_2,\;\; ... ,\;\; H_n$ sono eventi esaustivi per $\Omega$ e a due a due incompatibili, allora $$p(E) = p(E|H_1)\cdot p(H_1) + p(E|H_2)\cdot p(H_2) + ... + p(E|H_n)\cdot p(H_n).$$
Infatti:
$H_1\cap E,\;\; H_2\cap E,\;\; ... ,\;\; H_n\cap E$ sono eventi a due a due incompatibili e quindi
$$p(E) = p(H_1\cap E) + p(H_2\cap E) + ... + p(H_n\cap E);$$
per la definizione di probabilità di eventi condizionati segue la tesi.
Se $H_1,\;\; H_2,\;\; ... ,\;\; H_n$ sono eventi esaustivi per Ω e a due a due incompatibili, allora, per $i =1,2, ..., n$: $$p(H_i|E)=\frac{ p(E|H_i)\cdot p(H_i)}{p(E|H_1)\cdot p(H_1)+p(E|H_2)\cdot p(H_2)+ ... +p(E|H_n)\cdot p(H_n)}. $$
Ciò segue dal fatto che $$p(H_i|E)\cdot p(E) = p(H_i \cap E) = p(E|H_i)\cdot p(H_i)$$ e proprio dal teorema della probabilità totale.