Col capitolo ottavo ("Teorie deduttive elementari"), nel quale vengono dimostrati, tra l'altro, i classici teoremi di validità e completezza, viene esaurito quello che si potrebbe considerare un primo corso di logica a livello universitario. Il capitolo settimo, che guarda ai sistemi formali, per così dire, dall'esterno, considerandone le proprietà generali (coerenza, completezza sintattica, ecc.) svolge, in certo senso, un ruolo di raccordo col capitolo successivo, e costituisce un ponte naturale verso contenuti per corsi di livello superiore al primo. t in questo capitolo che vengono presentati e dimostrati i cosiddetti “teoremi limitativi" (tra i quali i celebri teoremi di Gödel e Tarski) «che sanciscono certi limiti del potere deduttivo dei formalismi (elementari)». Nei capitoli restanti, dal nono al sedicesimo, vengono introdotti argomenti come i calcoli delle sequenze, la teoria dei modelli, la ricorsività e la teoria degli insiemi; vengono forniti, tra l'altro, elementi di lambda-calcolo e di logica combinatoria. Questo sommario elenco - che per lo più si limita a riprodurre l'indice del volume - rende conto soltanto parzialmente della ricchezza del materiale raccolto nel libro e della chiarezza espositiva con la quale è presentato. Emblematiche, sotto questo riguardo, sono, per esempio, le poche pagine del secondo capitolo, nelle quali con grande lucidità e semplicità Casari introduce concetti fondamentali come quelli di decidibilità ed enumerabilità (di un insieme o di una relazione), di computabilità (di una funzione) e ne illustra i rapporti reciproci.
Dal punto di vista generale, la prospettiva "ideologica" che ispira il lavoro di Casari evoca un un'analoga concezione cara a Leibniz. Criticando le regole del metodo suggerite da Descartes, Leibniz aveva osservato che queste erano sostanzialmente troppo vaghe, e perciò prive dell'efficacia e del valore che Descartes attribuiva loro. Ben lungi dal voler negare l'utilità di regole metodologiche, Leibniz aveva inteso tuttavia proporne altre, più sicure e "dominabili" di quelle cartesiane. La costruzione di un linguaggio “logico" artificiale e di un annesso sistema di principi e regole di inferenza, avrebbe dovuto garantire la correttezza e la "dominabilità" dei nostri ragionamenti. Racchiusa in una gabbia di simboli, manipolabili secondo regole certe e in un numero finito di passi, la materia volatile dei nostri pensieri avrebbe potuto esser controllata come si controlla la robustezza di una catena, prendendone in mano e valutandone ciascun anello. Questo atteggiamento che, in ambito logico e di studio dei fondamenti della matematica, verrà sviluppato da David Hilbert, porta necessariamente a privilegiare un approccio rigorosamente sintattico ed è tale approccio che viene consapevolmente adottato da Casari, nella convinzione che «quando l'indagine tenda a uscire dai confini del noto, sia proprio la fissazione sintattica delle condizioni da soddisfare quella che, circoscrivendo e limitando il contenuto intenzionato, crea le premesse per la successiva surrogazione di quel contenuto con una ben determinata costruzione concettuale». Dato il carattere introduttivo del volume, sarebbe stata forse auspicabile una maggior tolleranza verso approcci che privilegiano il ricorso a una semantica di tipo intuitivo e una concezione "procedurale" dell'inferenza logica, in modo da dare al lettore una prospettiva pluralistica, oltre che nei contenuti, anche nel metodo. È vero però che, così facendo, si sarebbe persa la peculiarità "di scuola" che caratterizza quest'opera: il suo ricondursi cioè a un punto di vista che caratterizza l'intera impostazione filosofica di Casari.
Nella "Prefazione" al volume, Casari dichiara di aver concepito la struttura del testo - e quindi la scelta degli argomenti e la metodologia adottata per trattarli - in funzione di quelli che ritiene i destinatari privilegiati dell'opera: gli studenti di filosofia e, in generale, persone con formazione filosofica. Se ciò spiega, da un lato, 1'«uso parsimonioso di esemplificazioni matematiche», giustifica, dall'altro, la precisione e l'accuratezza con le quali vengono introdotte le nozioni logico-matematiche basilari, in un tentativo di non dar nulla (o quasi) per scontato. Lo stile rigoroso dell'opera si lega perciò all'intento didattico di mettere a disposizione di utenti che normalmente non posseggono le necessarie informazioni matematiche di sfondo, i mezzi indispensabili per andare avanti, a vari livelli, nello studio della logica. Al tempo stesso, l'educazione "formale" che Casari si impegna a fornire si salda alla scelta di privilegiare certi contenuti che consentano un aggancio a tematiche classiche del pensiero filosofico. Da qui, per esempio, il tentativo - rintracciabile fondamentalmente negli ultimi cinque capitoli - «di dar conto sia sul piano sintattico che su quello semantico della problematica della "definizione"»; e di illustrare nozioni fondamentali, connesse a tale problematica, riguardanti la logica delle relazioni, delle classi e la teoria elementare della ricorsività, in modo da riproporre una concezione della logica intesa non soltanto come teoria del giudizio, ma anche come teoria del concetto.

Pur guidando "per mano" il lettore, dagli argomenti più semplici a quelli più complessi, il libro richiede tuttavia, soprattutto per certe parti, attenzione e applicazione non superficiali. Destinato ai cultori di filosofia, solleva implicitamente un problema riguardo ai rapporti che al momento attuale sussistono tra filosofia e logica.
Sorta nell'ambito della filosofia, la logica ha sempre mantenuto con quest'ultima un rapporto caratterizzato da momenti di sintonia alternati a periodi di "convivenza difficile". Fin dall'inizio ha assunto uno statuto speciale che, in certo senso, l'ha distinta dalle altre discipline filosofiche, al cui novero - almeno per un lungo periodo - è stata unanimemente ricondotta. Già nell'antichità la logica viene insegnata e tramandata mediante manuali: le differenze ideologiche o di scuola che distinguono i vari pensatori hanno un peso ridotto sull'organizzazione e sul corpus della dottrina che, di volta in volta, in epoche diverse, costituisce il sapere logico "ufficiale". Si potrebbe argomentare con successo che, per certi aspetti, la logica ha rivelato, fin dalle origini, tratti analoghi alle discipline scientifiche (geometria e, in generale, matematica): organizzazione sistematica; tendenza a fissare in forme canoniche princìpi e regole per ricavare conclusioni (teoremi); definizione di un lessico da tramandare come gergo tecnico; strutturazione della materia secondo canoni indipendenti dall'adesione a scuole filosofiche, ecc. Tradizionalmente, logici che militavano su fronti filosofici opposti come, per esempio, nominalisti e realisti, condividevano senza riserve l'accettazione di un'ampia parte dottrinale in comune. Uno dei punti centrali di questa parte dottrinale, la teoria del sillogismo, rimarrà pressoché immutato dal tempo di Aristotele fino a circa la seconda metà del secolo XIX. Durante l'Umanesimo e il Rinascimento, la logica era ritenuta, per lo più, lontana dai fini e dalla natura dell'autentico filosofare: giudicata sterile, si cercò di riformarla assimilandola alle arti retoriche, che si prefiggono di disciplinare la viva discussione tra uomini. Per Descartes, la logica codificata nei manuali scolastici non dava alcuna garanzia di fornire un buon metodo per il ragionamento scientifico. Nell'Ottocento Hegel scorgeva nella logica formale una disciplina per molti versi arida, incapace di cogliere i nessi e il "movimento" di una realtà in perenne divenire.
Con la nascita della forma matematica di logica, la disciplina ha conosciuto - a partire dalla fine dell'Ottocento e per tutta la prima metà del Novecento - un momento di felice espansione anche in ambito filosofico. La filosofia, in autori come Bertrand Russell e Rudolf Carnap, pareva essersi riappropriata di uno strumento di fondamentale importanza. Proprio la matematizzazione della logica ha determinato tuttavia una situazione peculiare, nei rapporti col pensiero filosofico, che perdura anche adesso. L’aumentata tecnicizzazione, da un lato ha reso più grande la distanza tra logica e filosofia; dall'altro ha fatto sì che una serie di problematiche "ad alta intensità filosofica", che nella tradizione erano discusse da logici con una buona conoscenza della filosofia e da filosofi con competenze logiche, possano ormai essere affrontate soltanto sulla base di un'acquisizione di strumenti e tecniche “specialistiche" non banali. All'interno della stessa logica si è affermata una divisione del lavoro tra logici interessati esclusivamente agli sviluppi matematici, e logici più orientati verso esiti e problematiche filosofiche, sebbene - come spesso accade in questi casi - non si tratti di una divisione netta, e il confine passi per zone di incerta attribuzione.
La parola "filosofia" è un'espressione che si riferisce a una pluralità di attività, alcune delle quali svolte con metodiche e strumenti assai diversi tra loro. Leibniz pensava che la diversità fosse un fatto positivo e non c'è motivo di ritenere il contrario, assumendo posizioni "fondamentaliste". All'interno dei diversi modi di far filosofia storicamente determinati e tuttora operanti ve ne sono alcuni per i quali il rapporto con la logica ha notevole importanza. Da Aristotele a Ockham, da questi a Leibniz, da Leibniz a Russell e a Davidson o a Dummett e Klipke, per arrivare fino ai nostri giorni, far filosofia significa anche controllare argomentazioni, saggiarne il rigore formale, ragionare intorno al significato delle espressioni linguistiche, svolgere un lavoro intenso di analisi concettuale. Per gli autori che si rifanno a questa tradizione, la conoscenza della logica ha rappresentato e rappresenta un requisito necessario, anche se non una condizione sufficiente per filosofare. È all'interno di questa tradizione che si situa, per esempio, la corrente della cosiddetta "filosofia analitica", a proposito della quale Michael Dummett, di recente, ha osservato: «La logica, prima di Frege, non era in grado di rendere ragione neppure di certe forme di ragionamento assai semplici impiegate in matematica. Una volta fatto il primo passo, la logica fece rapidamente progressi incomparabilmente superiori a quelli previamente fatti in tutta la sua storia. Chiedere quanto la logica matematica abbia contribuito alla filosofia è porre la domanda sbagliata: la filosofia analitica è fatta da persone a cui i principi basilari della rappresentazione delle proposizioni nella forma quantificazionale - che è appunto il linguaggio della logica matematica - sono familiari come l'alfabeto, non importa quanto poco esse siano a conoscenza dei risultati tecnici o perfino dei concetti della teoria logica moderna. In larga misura, pertanto, i filosofi analitici possono considerare acquisiti i principi di analisi semantica incorporati in questa notazione»._[3] Queste osservazioni concernono tuttavia una peculiare tradizione all'interno dell'atteggiamento filosofico generale richiamato sopra, e descrivono uno stato di fatto: non è detto che chi ritiene indispensabile una conoscenza di base della logica per svolgere lavoro filosofico, sia di per sé un filosofo analitico. Per lungo tempo, gran parte dei filosofi ha ritenuto la logica una disciplina ausiliaria della filosofia: il fatto che adesso la logica si sia "matematizzata" rende più complesso, ma non meno indispensabile, dominarne i concetti fondamentali.

Se la filosofia consente una pluralità di approcci ai problemi, è pur vero che l'ignoranza non serve a nessuno; e sebbene vi siano modi e prospettive diverse in base alle quali può essere affrontata la discussione di un tema come, per esempio, quello della verità, sembra bizzarro o poco "professionale" applicarvici senza avere l'informazione necessaria su come viene trattato in logica. Se non altro, in tal caso, occorre un argomento per giustificare l'eventuale "superfluità" dell'informazione, e per far ciò bisogna ricorrere implicitamente alla logica (l'argomento dovrà essere valido e persuasivo, per essere accettato). Lo stesso si applica ad altri concetti, come quelli di identità, relazione, proprietà, ecc. che costituiscono componenti basilari, sia del linguaggio ordinario sia del lessico filosofico.
Come osservano Irving Copi e Carl Cohen, sarebbe del tutto fuorviante sostenere «che soltanto chi ha studiato logica è in grado di ragionare bene o correttamente. Affermarlo sarebbe altrettanto sbagliato quanto affermare che per correre bene occorre studiare la fisica e la fisiologia implicite in questa attività. Anche quando si esprime al meglio, un atleta può essere del tutto inconsapevole dei complessi processi che hanno luogo nel suo corpo. E un professore di fisiologia che volesse mettere a rischio la propria dignità su un campo d'atletica, potrebbe offrire una ben misera prestazione». Copi-Cohen riprendono dalla tradizione la duplice connotazione della logica come, a un tempo, arte (attività pratica dell'argomentare e applicazione dei principi) e scienza (studio astratto delle forme argomentative e costruzione di sistemi formali e calcoli logici). In quanto parte integrante dello studio teorico astratto, l'esercizio pratico affina l'abilità e le doti logiche naturali preesistenti in ciascun individuo. Per questo motivo conoscere la logica aiuta ad argomentare meglio o a non cadere tanto facilmente nei trabocchetti dei sofismi e delle fallacie. Il particolare esempio scelto da Copi e Cohen sembra tuttavia provare più di quel che questi vorrebbero: ai nostri giorni, sebbene un atleta possa essere ignaro di fisiologia e di fisica, non lo sono certo i tecnici che lo aiutano a raggiungere i risultati ai quali perviene. Volendo, si potrebbe perciò argomentare che, in ultima analisi, come la conoscenza della fisiologia potenzia le capacità di un atleta, così la conoscenza della logica potenzia le capacità argomentative di chi si cimenta con ragionamenti filosofici o scientifici. Proprio come l'atleta fruisce di conoscenze che magari non possiede personalmente, altrettanto può fare chi svolge ragionamenti o dimostrazioni utilizzando un calcolatore - facendo ricorso cioè a conoscenze logiche di altri.
La conoscenza della logica può consentire di affrontare con metodi rigorosi problemi tradizionali della filosofia; può essere un mezzo per introdursi nelle questioni aperte dalle cosiddette "scienze cognitive" e per svolgere indagini nel campo dell"'intelligenza artificiale". La logica può essere, infine, una disciplina che vale la pena coltivare in se stessa e per i problemi filosofici che solleva al proprio interno.

Analogo intento introduttivo alla logica, sebbene con ambizioni e contenuti più circoscritti rispetto al libro di Casari, lo ha anche il manuale di Marco Mondadori e Marcello D'Agostino. Si tratta di un testo che, con un'opportuna selezione degli argomenti, intende rivolgersi a ,«tutti gli studenti delle Facoltà Umanistiche», ma anche a studenti e insegnanti delle scuole secondarie superiori che vogliano «approfondire quegli "elementi di logica" previsti dai programmi Brocca e da tempo trattati in via sperimentale in quest'ordine di scuole». Nella "Prefazione" i due autori osservano che la logica degli ultimi vent'anni, sebbene non abbia ottenuto risultati paragonabili, per importanza e profondità, a quelli raggiunti tra la fine dell'Ottocento e la prima metà degli anni Settanta, ha registrato tuttavia un fecondo mutamento, determinato dall'interazione con l'informatica. Questa "svolta" avrebbe «ridato -vigore al punto di vista "computazionale" e ai metodi combinatori, che erano stati parzialmente oscurati dal successo della semantica à la Tarski e dei metodi insiemistici». E sarebbe appunto «la scelta di privilegiare gli aspetti combinatori e computazionali nell'analisi dei processi deduttivi», a caratterizzare l'approccio "didattico" di Mondadori e D'Agostino. Tale scelta comporta: a) adozione della concezione inferenziale del significato degli operatori logici, secondo la quale il significato dei simboli logici del linguaggio viene determinato dal ruolo che questi svolgono nella deduzione; b) "sdrammatizzazione" della tradizionale dicotomia tra sintassi e semantica a favore di una distinzione più marcata tra «deduzioni "intuitive" (basate sul contenuto delle espressioni linguistiche utilizzate) e procedure "meccaniche" (basate su regole completamente formali del tutto indifferenti a tale contenuto)». Il risultato è un libro agile e chiaro che, per chi desideri un primo contatto con la logica, avrà notevole efficacia didattica. Proprio alla luce delle metodologie che i due autori impiegano viene da chiedersi tuttavia se la giustificazione che si richiama alla "svolta informatica" non risulti, a conti fatti, eccessiva: tutto sommato l'approccio generale appare piuttosto tradizionale. Semmai si può criticare l'adozione di una formalizzazione basata su un calcolo che risulta idiosincratico, rispetto agli standard correnti dei manuali di logica che pure adottano la deduzione naturale. Si tratta di un calcolo proposto dagli stessi Mondadori e D'Agostino, e chi apprende a far logica col loro manuale potrebbe trovarsi leggermente spaesato, una volta messo a confronto con calcoli più "tradizionali”: bisogna riconoscere tuttavia che è uno strumento assai semplice e facile da usare.>br>Uno dei pregi del libro è costituito dal fatto che su circa 540 pagine di testo, quasi la metà sono occupate da esercizi e da soluzioni dei medesimi. Brevi, ma essenziali schede informative si alternano in punti strategici alla trattazione puramente sistematica, fornendo utili ragguagli di carattere storico-genetico dei concetti più importanti che, di volta in volta, vengono discussi. Dato il rilevante numero di pagine e i destinatari del volume, si fa sentire la mancanza di una trattazione rigorosa della semantica tarskiana, e quindi del concetto di verità, che però, come abbiamo visto, non è stata inserita per motivi "ideologici". Infine, tra le introduzioni alla logica che hanno visto la luce nel '97, da segnalare la traduzione del manuale di Irving Copi e Carl Cohen, al quale abbiamo già fatto riferimento e che presenta il testo rivisto e ampliato di un libro degli anni Sessanta. Nella "Presentazione" del volume Gabriele Lolli delinea sinteticamente, come segue, i caratteri principali di questa introduzione, spiegando anche in modo implicito le ragioni che possono giustificare una sua traduzione nella nostra lingua: «I testi di logica oggi sono difficili, in quanto trattano strutture astratte, e specializzati; questo di Irving M. Copi e Carl Cohen, no; si presenta come un testo tradizionale e senza matematica. L'impostazione non matematica non è un rifiuto del nuovo in nome di vecchi interessi della logica; non sarebbe possibile né augurabile; nel nostro tempo, se si vuole studiare la logica si deve affrontare la problematica di oggi. Ciò che questo volume ripropone è il valore culturale della logica. Lo ispira una tradizione politica di democrazia americana, dove la discussione delle diverse ragioni è condizione preliminare per valutare le alternative e arrivare a una decisione razionale nelle comunità». Il volume comprende la discussione di alcuni argomenti relativi al ragionamento deduttivo e dedica la terza parte all'induzione, all'inferenza probabile e a temi di logica giuridica. Numerosi sono gli esercizi, e di particolare interesse e utilità i capitoli dedicati, rispettivamente, alle fallacie (III) e alla definizione (IV). Resta però, sostanzialmente, un'opera preliminare allo studio della logica, utile per dare al lettore il gusto di certi problemi, ma che rischia di fermarsi al di qua della soglia della disciplina.