Matematica e scienze sociali per lo studio dei sistemi elettorali: un crocevia a senso unico?

 

Lo studio dei sistemi elettorali (SE) si trova al crocevia delle due culture: da una parte, le scienze sociali che studiano lo sviluppo e l'evoluzione dei SE, nel contesto dei mutevoli bisogni e delle dinamiche sociali delle collettività; dall'altra, le scienze esatte che si occupano dello studio formale dei meccanismi elettorali, le cui proprietà riflettono è o almeno dovrebbero riflettere è principi generali come Equità, Rappresentatività, Stabilità, e Consistenza.
Per la verità, nel nostro Paese al suddetto crocevia si vedono transitare veicoli pressoché in una sola direzione, dato che l'approccio politico-istituzionale delle scienze sociali è largamente prevalente. Il Convegno Internazionale su Mathematics and Democracy: Voting Systems and Collective Choice, svoltosi a Erice dal 18 al 23 Settembre 2005, rappresenta quindi da noi una novità quasi assoluta. Sintetizzandone le conclusioni, l'insigne studioso Michel Balinski - il suo trattato matematico sui sistemi proporzionali è spesso citato nelle sentenze della stessa Corte Suprema degli USA - ha redatto una sorta di Decalogo sulla scelta di un SE, sottoscritto all'unanimità dai partecipanti. Si tratta di un documento autorevole e di grande attualità, che può essere consultato sul sito web del convegno (http://w3.uniroma1.it/mathdemocr). 

In realtà, nel mondo l'uso della Matematica per lo studio dei SE è più diffuso di quanto si pensi. Il grande bagaglio di strumenti quantitativi di cui oggi si dispone permette di analizzare, valutare e progettare SE in tutti i loro aspetti, dalla definizione delle regole di voto e delle formule di trasformazione in seggi, al disegno dei distretti e alle strategie di coalizione tra partiti.
Sono molti gli approcci e diversi gli strumenti che possono portare un valido contributo alla comprensione dei processi elettorali e delle loro conseguenze. I metodi già disponibili in tal senso nella vastissima letteratura sono, ad esempio:

 

La varietà degli approcci e l'approfondimento teorico dei tanti strumenti quantitativi di analisi dei sistemi di voto sta facendo emergere una vera e propria scienza dei SE, della quale si dovrebbe fare uso nel progetto di sistemi nuovi e nella riforma di sistemi già in atto.
La Matematica aiuta a guardare i SE da più angolature, sfruttando la potenza di uno strumento che svolge la funzione sia di microscopio, nel senso che consente di mettere a fuoco con precisione le diverse componenti di un sistema complesso e le loro connessioni, altrimenti "invisibili"; sia di telescopio, nel senso che permette l'esplorazione - esplicita o virtuale - di un universo di scelte alternative enormemente vasto, avvalendosi anche delle potenzialità della tecnologia dell'informazione.
Come esempio della prima funzione possiamo citare un risultato da noi ottenuto sul guadagno garantito di seggi di un partito nel passaggio da un sistema misto come quello vigente in Italia a un sistema proporzionale, sotto l'ipotesi che il partito in questione non ottenga nessun seggio maggioritario. Quando si parla di sistema proporzionale, non tutti hanno la consapevolezza che ne esistono molti è anzi infiniti è spesso con caratteristiche ben diverse tra loro. Due furono inventati addirittura dai Presidenti americani Jefferson e Adams. Noi assumeremo che tanto il sistema proporzionale, quanto quello misto per la sua parte proporzionale, utilizzino la formula del quoziente naturale con i resti più alti , come avviene per le elezioni della Camera dei Deputati in Italia. 

Il fenomeno del guadagno di seggi precedentemente citato è ben noto ai politologi, ma tramite strumenti matematici diventa possibile quantificarne l'entità con risultati sorprendenti.

Un altro aspetto che può essere misurato con precisione grazie alla funzione di microscopio della Matematica, è la complessità di un SE . A questo proposito, vorremmo spezzare qui una lancia a favore della scelta di SE semplici. La formula elettorale "ideale" dovrebbe essere facile da calcolare e comprensibile per gli elettori. Spesso invece accade che, di fronte alla necessità di riforma elettorale, la scelta del sistema da adottare sia più il risultato di una difficile ricerca di compromessi tra le proposte delle diverse parti politiche. In tal modo, si ottengono SE "arlecchino" in cui degradano le buone proprietà teoriche che posseggono i sistemi puri (sia proporzionali che maggioritari).

Altre volte la Matematica viene usata come telescopio per esplorare una parte molto più vasta dell'universo delle scelte alternative possibili. In certi casi, il numero di tali scelte è astronomicamente alto: ad esempio, il numero di tutte le possibili alternative di distrettizzazione elettorale in Italia (che, in base alla legge vigente, corrisponde al numero di partizioni dell'insieme degli oltre 8000 comuni in 475 collegi uninominali) supera di gran lunga il numero di atomi dell'intero sistema solare! Evidentemente, il cervello umano da solo non è in grado di prendere in considerazione tutte le alternative possibili mentre invece, con il supporto di un modello matematico e di un computer, riesce ad esaminarne - esplicitamente o implicitamente - un gran numero.
A proposito di distrettizzazione elettorale, in Italia (dove abbiamo una lunga tradizione di sistemi proporzionali) non si ha una grande consapevolezza delle trappole insite nella forma dei collegi elettorali. Eppure quest'ultima, in un sistema maggioritario, a parità di voto, può cambiare drasticamente il risultato elettorale. Questo è quanto accadde nel Massachussets, nel 1821, quando il governatore Elbridge Gerry fece ridisegnare i distretti elettorali in modo da garantirsi una probabilità molto elevata di essere rieletto. La sua amministrazione è nota per aver fatto approvare in quell'anno una mappa di distretti elettorali per il Massachussets che favoriva intenzionalmente il consolidamento dei voti in sostegno del suo partito in alcuni collegi, causando così uno svantaggio ingiusto per i suoi competitori. L'insolita forma a salamandra di uno di questi distretti ha dato origine al termine gerry-mander (da Gerry-salamander).
Nonostante siano passati molti anni, il termine gerrymandering è tutt'altro che fuori moda. Lo dimostrano chiaramente i tanto dibattuti esiti delle più recenti elezioni del Congresso negli Stati Uniti d'America. Citiamo solo due esempi: il caso del Maryland nel 2002 (in cui, in base alla distrettizzazione vigente, per i Democratici risultavano sufficienti mediamente 150708 voti per ottenere un seggio a fronte di 376455 per i  Repubblicani) e quello del Connecticut nel 2004, in cui i Democratici hanno ampiamente battuto i Repubblicani in termini di voto (156000 voti in più) ottenendo soltanto 2 seggi contro i 3 dei Repubblicani.

L'utilità degli strumenti matematici è ancora più evidente quando essi permettono di capire i meccanismi dei SE in vigore e di metterne in luce i difetti. Con riferimento al SE italiano, ad esempio, si individua una grave anomalia nella procedura di ripartizione dei seggi alla Camera dei Deputati. La procedura adottata può, infatti, dar luogo a risultati che si contraddicono l'un l'altro. In questi casi senza l'uso della Matematica non si va da nessuna parte.

Anche i SE più rodati possono essere soggetti a paradossi. Si consideri, ad esempio, una delle formule proporzionali più diffuse, quella del quoziente con i resti più alti ricordata in precedenza. Sembra ragionevole supporre che, per una data distribuzione dei voti, se il numero di seggi totali in palio aumenta da S a S+1, nessun partito debba ricevere meno seggi rispetto a quelli che avrebbero dovuto spettargli con S seggi. Ebbene, assegnando i seggi con la formula del quoziente con i resti più alti, questa semplice proprietà, nota come monotonia rispetto ai seggi, può essere violata!
Non si tratta di un risultato astratto, tant'è che un simile evento paradossale è realmente accaduto in Alabama, nel 1881. All'epoca, la formula del quoziente con resti più alti veniva utilizzata negli Stati Uniti per definire quanti del totale dei seggi del House of Representatives dovessero spettare a ogni Stato in base alla sua popolazione. Nel 1881, il numero totale dei seggi passò da 299 a 300 ma allo stato dell'Alabama ne furono assegnati 7, invece degli 8 che avrebbe ottenuto se il numero complessivo di seggi fosse rimasto 299. L'episodio, ormai noto come paradosso dell'Alabama, fu giudicato talmente grave da portare all'abbandono del metodo del quoziente in favore di altri metodi proporzionali.
Tuttavia, anche questi ultimi non sono esenti da paradossi. In effetti, uno dei risultati più eclatanti che emerge dallo studio matematico dei SE è il cosiddetto Teorema d'Impossibilità è analogo al famoso Teorema di Arrow nella teoria delle scelte collettive. Supponiamo di stilare un elenco minimale di tutti gli assiomi a cui dovrebbe ragionevolmente sottostare un SE, inteso come trasformazione di voti in seggi parlamentari. Un esempio è fornito dall'assioma di monotonia rispetto ai seggi visto sopra; un altro è quello di monotonia rispetto ai voti: se il partito A riceve più voti del partito B, è sensato prescrivere che B non ottenga più seggi di A. Ebbene, il Teorema afferma la non esistenza di un SE che verifichi tutti gli assiomi prescritti! 

Sembrerebbe che, alla luce di questo teorema, la teoria matematica dei SE si autofagociti è la stessa osservazione, in effetti, potrebbe farsi a proposito del Teorema di Arrow o del celebre Teorema di Gödel per l'Aritmetica. In realtà, come è successo per gli altri due teoremi, proprio tale risultato negativo ha prodotto l'effetto che lo studio matematico dei SE non si estinguesse subito e anzi venisse fortemente stimolato. Inoltre, la stessa indisponibilità di un SE "perfetto" ha fatto sì che, potendosi addurre argomenti a favore dell'uno o dell'altro sistema, il loro studio matematico assumesse una tipica connotazione dialettica e critica.
A nostro parere, il vero contributo concettuale offerto dalla Matematica alla valutazione e alla scelta di SE è il presupposto che il sistema non dovrebbe scaturire da una sorta di "equilibrio di Nash" in un agone dove ciascun partito massimizza la propria utilità, bensì dovrebbe essere progettato in modo che venga ad avere proprietà ben definite, ragionevoli e ispirate a principi di equità e democrazia largamente condivisi dalla cittadinanza. Un uso corretto degli strumenti matematici per la progettazione e la valutazione dei SE garantisce la trasparenza e la neutralità del meccanismo, la controllabilità del processo e l'accuratezza, sia delle procedure di voto sia del computo dei risultati. Inoltre, in questo modo si possono prevenire i difetti insiti in un sistema, nonché le manipolazioni operate dalle parti interessate, con conseguenti effetti dannosi per la democrazia.

Ciò detto, non vorremmo essere fraintesi e passare per apologeti di un uso esclusivo della Matematica nello studio dei SE.  Crediamo invece che, quando si tratta di designare o di scegliere un SE, sia necessario integrare le conoscenze matematiche con quelle proprie delle scienze sociali. Siamo convinti che tanto le une quanto le altre - considerate separatamente - non siano sufficienti per una oculata scelta del SE. Infatti le prime, ove correttamente utilizzate, consentono sia di prevenire e ridurre il controllo politico di parte, sia di garantire al cittadino la trasparenza e la qualità del sistema. Le seconde, d'altra parte, forniscono indicazioni per scegliere tra tutti i possibili SE, di necessità imperfetti, quello più adatto per una particolare società in un particolare periodo storico.

 

In ogni caso auspichiamo di veder transitare al crocevia elettorale più veicoli nell'altra direzione, anche nel nostro Paese.