La matematica è una bolla di sapone

La ricerca pura si lega da sempre alla più eterea delle realtà
Quello che sembra un gioco da bambini impegna tuttora gli scienziati più creativi, che risolvono problemi senza curarsi troppo delle applicazioni: le quali tuttavia arrivano sempre

di MICHELE EMMER

"Abbi divertimento sulla terra e sul mare.
Infelice è il diventare famoso!
Ricchezze, onori, false illusioni di questo mondo,
Tutto non è che bolle di sapone"

Il 9 dicembre 1992 il fisico francese Pierre-Gilles de Gennes, professore al Collège de France, dopo il conferimento del premio Nobel per la fisica concludeva la sua conferenza a Stoccolma con questa poesia, aggiungendo che nessuna conclusione gli sembrava più appropriata. Le bolle di sapone erano uno degli argomenti della sua, relazione che era tutta dedicata alla Soft matter, le bolle di sapone che "sono la delizia dei nostri bambini" (si veda "Science" del 24 aprile 1992). Ma è giustificato, per uno scienziato, un tale interesse per questi oggetti belli, colorati ma fragili, eterei - un soffio e nulla più?

Isaac Newton, nell'Ottica, la cui prima edizione è del 1704, è stato il primo a descrivere in dettaglio il colore che si osserva sulla superficie delle lamine saponate. Nel 1902 uscì Soap Bubbles and the Forces Which Moulds Them del fisico inglese Charles Boys, inventore di strumenti delicatissimi, che avrebbe poi calcolato la costante gravitazionale di Newton, la densità della terra, la temperatura alla superficie di Giove. E tuttora le bolle di sapone sono uno degli argomenti più interessanti in molti settori della ricerca scientifica: dalla matematica alla chimica, dalla fisica alla biologia. E' proprio attraverso lo studio delle bolle di sapone che alcuni biologi stanno cercando di studiare le origini della vita. E anche l'architettura, l'arte, per non parlare del design e persino della pubblicità, sono attratti dalle proprietà delle bolle. E' una storia iniziata molti secoli fa, e che continua a generare risultati entusiasmanti.

Perché si forma una bolla, una sfera, quando soffiamo su una lamina di sapone? E' attribuita ad Archimede e a Zenodoro, vissuto si ritiene in un periodo tra il 200 a.C. e il 100 d.C., l'osservazione che di tutti i solidi con la stessa superficie la sfera è quella che ha il volume maggiore. Quella che si chiama la proprietà isoperimetrica (cioè di avere lo stesso perimetro o, in questo caso, la stessa superficie) della sfera. Quando soffiamo, la lamina, per effetto della tensione superficiale, cattura il volume d'aria e, minimizzando la superficie della lamina, forma la bolla sferica. Se a un fisico può bastare sperimentare che succede sempre così, per i matematici la sfida è dimostrare che quella proprietà è caratteristica della forma della sfera. E la cosa non è affatto semplice.

Si dovrà aspettare il 1884, con il matematico Schwarz, per avere la dimostrazione. Schwarz dimostra la proprietà isoperimetrica della sfera nello spazio cui siamo abituati, quello euclideo a tre dimensioni. Ma la sfera ha la stessa proprietà in qualsiasi dimensione, come dimostrerà nel 1958 il matematico italiano Ennio De Giorgi, scomparso nel 1996. De Giorgi utilizzerà la "teoria dei Perimetri" che per primo aveva introdotto Renato Caccioppoli. Nel film Morte di un matematico napoletano di Mario Martone, Caccioppoli (interpretato da Carlo Cecchi), si aggira per Napoli e scrive delle formule: tra queste vi è appunto la definizione di perimetro, che è una generalizzazione dell'area di una superficie.

Ma facciamo un passo indietro.Antoine Ferdinand Plateau (1801-1883) nel 1873 pubblica il risultato di quindici anni di ricerche: Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires. In quel libro si pongono molti problemi che riguardano le lamine e le bolle di sapone. Nasce la moderna teoria delle superfici minime, quelle superfici che minimizzano l'area della superficie rispetto a qualche proprietà; nel caso della bolla di sapone, rispetto al volume d'aria contenuto.

Una delle cose più stupefacenti che osserva Plateau che si era costruito una macchina con anelli di fil di ferro che scendevano da pulegge nel truogolo pieno d'acqua insaponata e manticini tipo organi per soffiare a diverse potenze: immaginatevelo mentre gira la manovella e pedala sui mantici! - è che se si soffia con una cannuccia in una soluzione d'acqua saponata (ovvero se si lavano i piatti o si agita una bottiglia di birra) gli angoli che le lamine formano sono solo di due tipi: o di 120° o di 109° e 28'. Un risultato che sarà dimostrato solo nel 1976 dalla matematica americana Jean Taylor.

Qualche settimana fa Michael Hutchings, Frank Morgan,Manuel Ritoré e Antonio Ros hanno annunciato di aver dimostrato che la configurazione per le due bolle (la così detta "doppia bolla") così come appare nelle immagini di Sullivan è effettivamente quella che ha la proprietà di minimo. Nel senso che se si assegnano due diversi volumi dì aria e si formano due bolle che poi si toccano, esse hanno una configurazione che consiste di tre superfici: le due bolle iniziali troncate della parte comune e la superficie che le separa.
Questa superficie è curva tranne nel caso in cui i due volumi di aria sono eguali; in questo caso la parete che separa le due bolle è piatta.
Questa configurazione è la unica configurazione che ha la minima area superficiale complessiva tra qualsiasi altra configurazione formata da due bolle (tipo quella non standard di Sullivan).

Come ogni risultato matematico, Morgan e i suoi colleghi hanno usato risultati precedenti: il teorema generale di regolarità di Fred Almgren (morto nel 1997) per un ammasso di bolle che contiene tanti volumi di aria; il già citato risultato sugli angoli delle lamine saponose dì Jean Taylor (moglie di Fred Almgren); un risultato di simmetria rotatoria per qualsiasi configurazione che minimizza la doppia bolla. Il risultato è stato ottenuto grazie a questa proprietà di simmetria utilizzando le classiche tecniche del Calcolo delle Variazioni (in cui si fanno variare le aree delle superfici delle bolle cercandone la minima configurazione). L'articolo Proof of the Double Bubble Conjecture lo si trova in rete nel sito http://www. williams.edu/mathematics/fmorgan/ann.html mentre le immagini di Sullivan si trovano al: http://www. math.uiuc. edu/~jms/images. Altre immaginí:http://www.msri.org/publications/sgp/jim/geom/cmc/library/double/index.html.

Resta aperto il problema per la configurazione di tre bolle. Se per il caso delle due bolle con eguali volumi l'apporto del computer è stato importante, per la doppia bolla con volumi qualsiasi non ha avuto un ruolo. Come non lo aveva avuto qualche anno fa nella dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat, anche se spesso si sente dire il contrario. Andrew Wiles (il matematico che lo ha dimostrato) si è sempre vantato di non avere la minima idea di come funziona un computer. In alcuni settori della matematica i computer sono importanti, in altri no, semplicemente.

Si dirà: ma a che serve tutto questo! Ai matematici non bisogna mai porre questa domanda. Le bolle, da sempre, pongono problemi che riguardano la ricerca pura, che poco si cura delle applicazioni. La matematica, tuttavia, per vie misteriose è utilissima. Un esempio: la tenda sospesa che copre lo stadio olimpico di Monaco di Baviera è stata costruita da Frei Otto utilizzando modelli con le bolle di sapone. E comunque, dicevaMark Twain: "Una bolla di sapone è la cosa più bella, e la più elegante che ci sia in natura... Mi chiedo quanto sarebbe necessario per comprare una bolla di sapone se al mondo ne esistesse soltanto una".