V.A. bidimensionali discrete

Per una variabile aleatoria $Z=(X,Y)$ che assuma valori $(x_i,y_j)$ con $i=1,2,...,r$ e $i=1,2,...,s$ la distribuzione di probabilità è \[(x_i,y_j)\longrightarrow f(x_i,y_j)=p\big((X,Y)=(x_i,y_j)\big)\] con $\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^sp\big((X,Y)=(x_i,y_j)\big)=1$.

$Z=(X,Y)$	$y_1$	$y_2$	$y_3$	...	$y_j$	...	$y_s$
$x_1$	$f(x_1,y_1)$	$f(x_1,y_2)$	$f(x_1,y_3)$	...	$f(x_1,y_s)$	...	$f(x_1,y_s)$
$x_3$	$f(x_2,y_1)$	$f(x_2,y_2)$	$f(x_1,y_3)$	...	$f(x_2,y_j)$	...	$f(x_2,y_s)$
...	...	...	...	...	...	...	...
$x_i$	$f(x_i,y_1)$	$f(x_i,y_2)$	$f(x_i,y_3)$	...	$f(x_i,y_j)$	...	$f(x_i,y_s)$
...				...		...
$x_r$	$f(x_r,y_1)$	$f(x_r,y_2)$	$f(x_r,y_3)$	...	$f(x_r,y_j)$	...	$f(x_r,y_s)$

Si osservi che:

• $X$ e $Y$ sono v.a. e che $x_i\longrightarrow f_X(x_i)=p(X=x_i)=\sum_{j} p\big((X,Y)=(x_i,y_j)\big) $ e $y_i\longrightarrow f_Y(y_i)=p(Y=y_j)\sum_i p\big((X,Y)=(x_i,y_j)\big)$ sono le rispettive funzioni di distribuzione;
• $X$ e $Y$ sono indipendenti $\iff p\big((X,Y)=(x_i,y_j)\big) =p(X=x_i \land Y=y_j)=p(X=x_i)\cdot p(Y=y_j)$ ovvero $\iff f(x_i,y_j)=f_X(x_i)\cdot f_Y(y_j)$;
• la v.a $Y|(X=x_i)$, cioè $Y$ condizionata dall'assumere $X$ valore $x_i$, ha funzione di distribuzione $y_i\longrightarrow \frac{ p\big((X,Y)=(x_i,y_j)\big)}{p(X=x_i)}$;
• la v.a. $X+Y$ ha funzione di distribuzione $k\longrightarrow \sum_{x_i+y_j=k} p\left((X,Y)=(x_i,y_j)\right)$;
  nel caso che le due variabili siano indipendenti \[E(X+Y)=\sum_{i,j} \left((x_i+y_j)p(X=x_i)p(Y=y_j)\right)=\]\[=\sum_{i,j} \left((x_ip(X=x_i))p(Y=y_j)\right)+\sum_{i,j} \left(p(X=x_i)(y_jp(Y=y_j))\right)=\]\[=E(X)\sum_jp(Y=y_j)+E(Y)\sum_ip(X=x_i)=E(X)+E(Y)\] mentre \[E((X+Y)^2)=\sum_{i,j} \left((x_i+y_j)^2p(X=x_i)p(Y=y_j)\right)=\] \[=\sum_{i,j} \left((x_i^2p(X=x_i))p(Y=y_j)\right)+\sum_{i,j} \left(p(X=x_i)(y_j^2p(Y=y_j))\right)+2\sum_{i,j} \left(x_ip(X=x_i)\cdot y_jp(Y=y_j))\right)=\]\[=E(X^2)\sum_jp(Y=y_j)+E(Y^2)\sum_ip(X=x_i)+2E(X)E(Y)=E(X^2)+E(Y^2)+2E(X)E(Y)\] da cui \[var(X+Y)=E((X+Y)^2)-E^2(X+Y)=var(X)+var(Y)\]
• la v.a. $Y|(X+Y=k)$, cioè $Y$ condizionata dall'assumere $X+Y$ valore $k$, ha funzione di distribuzione $y_j\longrightarrow \frac{p\big((X,Y)=(k-y_j,y_j)\big)}{\sum_{x_i+y_j=k}p\big((X,Y)=(x_i,y_j)\big)}$;
• la v.a. $max(X,Y)$ tra due v.a. idipendenti $X$ e $Y$ ha \[f(z)=p(max(X,Y)= z)=p\left((X= z \land Y\lt z) \vee (X\lt z \land Y=z) \vee (X=z \land Y=z)\right)=\]\[=p(X= z)\cdot p(Y\lt z) +p(X\lt z) \cdot p(Y=z)+p(X=z)\cdot p(Y=z)=\]\[=f_X(z)\cdot \sum_{i\lt z}p(Y=i)+f_Y(z)\cdot \sum_{i\lt z}p(X=i)+f_X(z)\cdot f_Y(z)\].

Ad esempio consideriamo che $X$ e $Y$ siano v.a. indipendenti uniformi assumendo rispettivamente valori $i=1,2,...,r$ e $j=1,2,...,s$ e quindi $f_X=\frac{1}{r}$ e $f_Y=\frac{1}{s}$. Allora:

• la v.a. $Z=(X,Y)$ è anch'essa uniforme con distribuzione $(i,j)\longrightarrow f(i,j)=f_X(i)\cdot f_Y(j)=\frac{1}{rs}$;
• la v.a. $X+Y$ che ha valori $2,3,...,r+s$ ha funzione di distribuzione $k\longrightarrow \frac{1}{rs}\sum_{i+j=k}1$;
  nel caso $r=s=n$ si ha: \[f_{X+Y}(k)=\begin{cases} \frac{k-1}{n^2} \quad 1\lt k \le n+1 \\ \frac{2n-k+1}{n^2}\quad n+1\lt k \le 2n \end{cases}\] come esempio di questo caso si consideri il caso della somma delle facce di due dadi;
  nel caso $r\lt s$ \[f_{X+Y}(k)=\begin{cases} \frac{k-1}{rs} \quad 1\lt k \le r \\ \frac{^1\not r}{\not rs} \quad r\lt k \le s \\ \frac{r+s-k+1}{rs}\quad s\lt k \le r+s \end{cases}\] Ad esempio si consideri il caso della somma delle faccia di una moneta posto $T=2$ e $C=1$ e quella di un dado;
  nel caso $r\gt s$ \[f_{X+Y}(k)=\begin{cases} \frac{k-1}{rs} \quad 1\lt k \le s \\ \frac{^1\not s}{r\not s} \quad s\lt k \le r \\ \frac{r+s-k+1}{rs}\quad r\lt k \le r+s \end{cases}\]
• la v.a. $Y|(X+Y=k)$, cioè $Y$ condizionata dall'assumere $X+Y$ valore $k$, che ha valori $1,2,3,...,k-1$, ha funzione di distribuzione $j\longrightarrow \frac{p((X,Y)=(k-j,j))}{\sum_{i+j=k}\left( p((X,Y)=(i,j)) \right)}=\frac{\frac{1}{rs}}{\frac{1}{rs}\sum_{i+j=k}1}=\frac{1}{\sum_{i+j=k}1}$.

Ad esempio consideriamo che $X$ e $Y$ siano v.a. indipendenti geometriche quindi entrambe con valori $1,2,...,n, ...$ e $f_X(i)=f_Y=p(1-p)^{i-1}$. Allora:

• la v.a. $Z=(X,Y)$ è anch'essa uniforme con distribuzione $(i,j)\longrightarrow f(i,j)=f_X(i)\cdot f_Y(j)=p^2(1-p)^{i+j-2}$;
• La v.a. $X+Y$, che ha valori $2,3,...,n, ...$ ha funzione di distribuzione $k\longrightarrow \sum_{i=1}^{k-1}p^2(1-p)^{k-2}=p^2(1-p)^{k-2}\sum_{i=1}^{k-1}1=p^2(1-p)^{k-2}(k-1)$;
• la v.a. $Y|(X+Y=k)$, cioè $Y$ condizionata dall'assumere $X+Y$ valore $k$, quindi con valori $1,2, ..., k-1$ ha funzione di distribuzione $j\longrightarrow \frac{p((X,Y)=(k-j,j))}{\sum_{i+j=k}\left( p((X,Y)=(i,j)) \right)}=\frac{p^2(1-p)^{k-2}}{p^2(1-p)^{k-2}(k-1)}=\frac{1}{k-1}$, cioè uniforme.