V.A. bidimensionali continue

Per una variabile aleatoria $Z=(X,Y)$ continua la cui densità di probabilità è \[(x,y)\longrightarrow f(x,y)\] con $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dxdy=1$.

Si osservi che:

• $X$ e $Y$ sono v.a. e che $x\longrightarrow f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy $ e $y\longrightarrow f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dx$ sono le rispettive densità di probabilità;
• $X$ e $Y$ sono indipendenti $\iff f(x,y) =f_X(x)\cdot f_Y(y)$;
• la v.a $Y|(X=x)$, cioè $Y$ condizionata dall'assumere $X$ valore $x$, ha densità di probabilità $y\longrightarrow \frac{ f(x,y)}{f_X(x)}$;
• la v.a. $X+Y$ ha densità di probabilità $z\longrightarrow f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x) dx$;
• la v.a. $Y|(X+Y=z)$, cioè $Y$ condizionata dall'assumere $X+Y$ valore $k$, ha densità di probabilità $y\longrightarrow \frac{f_X(z-y)f_Y(y)}{f_{X+Y}(z)}$;
• la v.a. $max(X,Y)$ tra due v.a. idipendenti $X$ e $Y$ ha $F(z)=p(max(X,Y)\lt z)=p(X\lt z \land Y\lt z)=p(X\lt z )\cdot(Y\lt z)=F_X(z)\cdot F_Y(z)$ e perciò $f(z)=F'(z)=f_X(z)\cdot F_Y(z)+f_Y(z)\cdot F_X(z)$.

Ad esempio consideriamo che $X$ e $Y$ siano v.a. indipendenti uniformi e quindi $f_X=\frac{1}{b-a}$ e $f_Y=\frac{1}{d-c}$. Allora:

• la v.a. $Z=(X,Y)$ è anch'essa uniforme con distribuzione $(x,y)\longrightarrow f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)=\frac{1}{(b-a)(d-c)}$;
• la v.a. $X+Y$ che ha valori in $[a+c,b+d]$ ha funzione di densità di probabilità $f_{X+Y}(x)=\frac{1}{(b-a)(d-c)}\int_{a\lt x\lt b \land y-d\lt x\lt y-c} d\xi$ dove l'integrale è il massimo valore tra $0$ e la differenza tra il minimo tra $b$ e $x-c$ e il massimo tra $a$ e $x-d$;
  
• la v.a. $Y|(X+Y=z)$, cioè $Y$ condizionata dall'assumere $X+Y$ valore $z$, che ha valori $[z-b,z-a]\cap [c,d]$, ha funzione di distribuzione $y\longrightarrow \frac{f(z-y,y)}{f_{X+Y}(z))}=\frac{1}{\int_{a\lt z\lt b \land y-d\lt z\lt y-c} d\xi}$.

Ad esempio consideriamo che $X$ e $Y$ siano v.a. indipendenti normali $f_X(x)=\frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}}$ e $f_Y(y)=\frac{1}{\sigma_Y\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}$. Allora:

• la v.a. $Z=(X,Y)$ ha distribuzione $(x,y)\longrightarrow f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)=\frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_X}e^{-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}$;
• La v.a. $X+Y$, ha funzione di distribuzione $z\longrightarrow \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)}}e^{-\frac{(z-\mu_X-\mu_Y)^2}{2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)}}$, cioè ancora normale con valore atteso $\mu=\mu_X+\mu_Y$ e varianza $\sigma^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$;
• la v.a. $Y|(X+Y=z)$, cioè $Y$ condizionata dall'assumere $X+Y$ valore $z$, ha funzione di distribuzione $y\longrightarrow \frac{f_X(z-y)f_Y(y)}{f_{X+Y}(z)}=\frac{\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}}{\sigma_X\sigma_Y\sqrt{2\pi}}e^{\frac{(z-\mu_X-\mu_Y)^2}{2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)}-\frac{(z-y-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}$, che se $X$ e $Y$ sono entrambe normali con media nulla e varianza unitaria è ancora normale con media $\frac{z}{2}$ e varianza $\sigma^2=\frac{1}{2}$.