Distribuzione di probabilità

Per una variabile aleatoria intera l'equazione $X=i$ corrisponde a un evento (in uno spazio di possibilità che non è sempre facile esplicitare).
Resta perciò determinata la probabilità $p(X=i)$ che la variabile $X$ assuma quel determinato valore $i$.

La distribuzione di probabilità per $X$ è proprio la sequenza di numeri $p(X=i)$ che in primo luogo ha la proprietà $\displaystyle \sum_ip(X=i)=1$.

Ad esempio

i valori $i$ assunti da $X$:	0	1	2	...	n
le probabilità $p(X=i)$ che $X$ assuma valore $i$:	$\binom{n}{0}\frac{1}{2^n}$	$\binom{n}{1}\frac{1}{2^n}$	$\binom{n}{2}\frac{1}{2^n}$	...	$\binom{n}{n}\frac{1}{2^n}$

Alcune importanti valutazioni sintetiche della distribuzione di una variabile aleatoria sono:

la media $\displaystyle \mu =\sum_i\left(i\cdot p(X=i)\right)$, o valore atteso, o speranza matematica, indicata anche con $\overline X$;
la varianza $\displaystyle\sigma^2=\sum_i\left((i-\mu)^2\cdot p(X=i)\right)=\overline {X^2}-\overline X^2$;
lo scarto quadratico medio σ, un indice di dispersione dei valori di $X$ intorno alla media.