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Teorema del limite centrale

Per esempio si consideri il lancio di $n$ dadi e la media delle uscite.

dadi
Esito:

Istogramma
Analisi Statistica

Media dei valori usciti:

$\left[1,\frac{11}{6}\right[$
$\left[\frac{11}{6},\frac{16}{6}\right[$
$\left[\frac{16}{6},\frac{21}{6}\right[$
$\left[\frac{21}{6},\frac{26}{6}\right[$
$\left[\frac{26}{6},\frac{31}{6}\right[$
$\left[\frac{31}{6},6\right]$

Se con $X_i$ indichiamo la v.a. associata al lancio del singolo dado che ha per valori le facce $1,2,3,4,5,6$ possiamo calcolare che $E(X_i)=\frac{7}{2}$ e $var(X_i)=E(X_i^2)-E^2(X)=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$, uguali per ogni $i$.

La media delle uscite è dunque la v.a. $\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}$ che ha la stessa media $\frac{7}{2}$ e varianza $n\cdot \frac{var(X_i)}{n^2}=\frac{35}{12n}$ cosicché possiamo dire che la v.a. $\frac{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}-E(X_i)}{\sqrt\frac{var(X_i)}{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-\frac{7n}{2}}{\sqrt n\sqrt\frac{35}{12}}$ è normalizzata, cioè ha media nulla e varianza unitaria.

Ebbene questa variabile quanto più grande è n tanto più va somigliando a una v.a. gaussiana normalizzata.

Teorema del limite centrale
Siano $X_i$ variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite per ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ con $E(X_{i})=\mu$ e ${\displaystyle \mathrm {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$ allora \[ \frac {\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt {n}}}=\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}-n\mu }{\sqrt {n}\sigma }\longrightarrow N(0,1) \] ovvero \[\lim_{n\to \infty} prob\left(a\le \frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}-n\mu }{\sqrt {n}\sigma }\le b \right) =\int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\quad \forall a,b \in \mathbb{R} \]

La media di un grande numero di v.a. indipendenti e con la stessa distribuzione, qualunque, è duque approssimativamente una v.a.normale.