$p(E) \le 1$ qualunque sia l'evento $E$.
Infatti: $E$ e il suo complementare $\Omega\smallsetminus E$ sono eventi disgiunti ed $E \cup (\Omega\smallsetminus E) = \Omega$; quindi $p(\Omega) = p(E) + p(\Omega\smallsetminus E)$; poiché $ p(\Omega) = 1$ e $p(\Omega\smallsetminus E)\ge 0$ ecco l'affermazione.
$p(\Omega\smallsetminus E) = 1 -p(E)$ qualunque sia l'evento $E$.
Infatti: $E$ ed $\Omega\smallsetminus E$ sono eventi disgiunti e $E \cup (\Omega\smallsetminus E) = \Omega$; quindi $p(\Omega) = p(E) + p(\Omega\smallsetminus E)$; poiché $ p(\Omega) = 1$ ecco l'affermazione.
Se $E_1 \subseteq E_2$ allora $p(E_1)\le p(E_2)$ qualunque siano gli eventi $E_1,E_2$.
Infatti: $E_1$ ed $E_2 \smallsetminus E_1$ sono eventi disgiunti ed $E_1 \cup (E_2\smallsetminus E_1) = E_2$; quindi $p(E_2) = p(E_1)+ p(E_2\smallsetminus E_1)$; poiché $ p(E_2\smallsetminus E_1)\ge 0$ ecco l'affermazione.
$P(E_1\cup E_2) = p(E_1)+ p(E_2) - p( E_1 \cap E_2)$ qualunque siano gli eventi $E_1,E_2$.
Infatti: $E_1 \cup E_2 = E_1 \cup ( E_2 \smallsetminus E_1)$ e questi due ultimi eventi sono disgiunti; quindi $p( E_2 \cup E_2) = p(E_1)+ p(E_2\smallsetminus E_1)$; d'altra parte $E_2 = (E_2\smallsetminus E_1) \cup (E_2 \cap E_1)$ e quest'unione è disgiunta, allora $p(E_2) = p(E_2\smallsetminus E_1) + p(E_2 \cap E_1)$. Sostituendo a $p(E_2\smallsetminus E_1)$ l'espressione equivalente $p(E_2) - p(E_2 \cap E_1)$ ecco l'affermazione.