Iniziamo con un esempio per illustrare le importanti idee collegate alla Formula di Bayes.
Si vuole determinare la percentuale di palline rosse contenute in un'urna alla quale è impossibile accedere completamente ma solo estraendo una alla volta pallina, osservarne il colore e poi reinserirla.
Possiamo affidarci una teoria della composizione dell'urna articolata
in ipotesi Hi tra loro indipendenti ed esaustive come ad esempio:
Hi = " ci sono circa i% palline rosse " con i = 0,10,20,..,100
A ciascuna di queste ipotesi attribuiremo un livello di fiducia iniziale che, in caso di completa mancanza di informazioni, è ragionevole uguagliare a quello attribuito a ogni altra.
Successivamente, effettuato l'esperimento consentito, con un opportuno metodo di calcolo, la
formula di Bayes, si possono aggiornare i livelli di fiducia in ciascuna ipotesi in modo tale che
la teoria diventi sempre più aderente alla realtà.
Un altro esempio per illustriare le importanti idee collegate alla Formula di Bayes è il seguente.
Effettuando il lancio di una moneta vogliamo valutare se è imperfetta.
Una teoria iniziale potrà basarsi sulle ipotesi:
Hi = " esce T con probabilità i % " per i=0,10,20,..,100
A ciascuna di queste ipotesi attribuiremo un livello di fiducia iniziale, ad esempio supporre ottimisticamente che quasi certamente la moneta non sia truccata, senza però escludere completamente altre possibilità.
Successivamente, effettuato l'esperimento consentito, applicando la formula di Bayes,
possiamo aggiornare i livelli di fiducia in ciascuna ipotesi in modo tale che
la teoria diventi sempre più aderente alla realtà.